DEA algorithmique

Novembre 1999






Systèmes polynomiaux et géométrie

Soit k un corps et K sa cloture algébrique (par exemple k=Q et K=C). Soit F un ensemble de polynômes de k[x1,...,xn]. La variété de F, notée V(F), est l'ensemble des zéros communs dans Kn des polynômes de F. Elle correspond aussi à V(á F ñ) où á F ñ est l'idéal engendré par F. Le Nullstellensatz de Hilbert établit que
V(F) = Ø Û á F ñ = k[x1,...,xn]

Une base de Groebner G de l'idéal á F ñ engendré par F est un système de générateurs de á F ñ qui a de bonnes propriétés. Par exemple, si les polynômes de F n'ont aucun zéro commun alors G = {1}. On peut aussi savoir si un polynôme appartient à á F ñ en vérifiant si sa forme normale (voir normalf) par rapport à G est nulle.

De plus, si G est une base de Groebner pour l'ordre lexicographique (plex) alors G Ç k[x1,...,xi] est une base de Groebner de á F ñ Ç k[x1,...,xi] (on a alors des informations sur les projections de V(F)). On peut ainsi trouver l'équation implicite d'une surface paramétrée en choisissant les paramètres comme variables les plus grandes.

L'ordre du degré (tdeg) permet en général d'obtenir une base de Groebner plus facilement.

  1. Soit (S) la surface paramétrée par

    x=t+u
    y=t2+2t u
    z= t3 + 3 t2 u
    .

    Afficher (S) et calculer une équation en x,y,z qui définisse la surface (S).

  2. Déterminer l pour que les deux droites définies par

    2x-2 = y-2 = 2z + l et
    2x+y+2z=l
    x+y+z=1/3
    .

    se rencontrent.

  3.  
    3cm
    [width=3cm]figureGeom.eps
    13cm

    AB =2, DC=3, EH=1.
    Déterminez les deux valeurs possibles pour AC en calculant une base de Grobner pour l'ordre lexicographique de toutes les relations sur les longueurs que vous connaissez en considérant. ces longueurs comme des variables.

  4. Afficher sur un même graphique le cône défini par x2+y2+z/2=0 et le cylindre défini par (y-1)2+(z+4)2=1.

    Afficher les projections sur les plans de coordonnées de la courbe (C), intersection de ces deux surfaces.
  5. Regarder l'aide sur gsolve, fonction qui fournit une décomposition des zéros du système de départ en bases de Groebner.

    Essayer cette fonction sur les système de la fiche de td précédente. Décomposer l'ensemble des zéros de { x23 - x2, x1 x32 -x2 }. Que remarquez-vous ? De quelle manière la sortie peut-elle être nettoyée ?
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