1 Intégration des fractions rationnelles
Lire la documentation en ligne sur la décomposition de fractions
rationnelles en éléments simples et sur l'intégration.
1.1 Une petite expérience
Soient les polynômes :
P=x7-24 x4-4 x2+8 x-8 et Q=x8+6 x6+12 x4+8 x2.
Quelle est la factorisation de Q? Quelle est la décomposition en
éléments simples de la fraction rationnelle P/Q? Quelle est
la forme générale des primitives de P/Q?
1.2 Présentation de l'algorithme
Nous allons exquisser ici l'algorithme d'intégration des fractions
rationnelles.
Si F Î Q(z), on écrit F sous la forme
où E est sans carré et D n'a que des racines multiples.
Alors F s'écrit aussi sous la forme
Le but de cet algorithme est de déterminer cette décomposition
en évitant les extensions algébriques.
La détermination de P et de l'une de ses primitives Q est le
résultat d'une simple division euclidienne. La détermination de
A/ D est l'objet de la réduction
d'Hermite. La détermination de B/ E,
qui correspond à la partie logarithmique de la primitive, est l'objet
de la méthode de Rothstein-Trager.
1.2.1 Réduction d'Hermite
Soit f une fraction rationnelle de la forme P/ Q avec
deg(P)<deg(Q) et (P, Q)=1.
On écrit la décomposition sans carrés de Q sous la forme :
|
Q=Q1 Q22 ··· Qmm=
Q1 ( |
|
)
( |
|
)
|
On veut écrire f comme la somme de la dérivée de A/ G et
d'une fraction rationnelle plus simple.
Pour déterminer A, on exploite le fait que
Q G'/ G2=Q1 G* G'/G est un polynôme premier avec
G*. L'application de l'algorithme de Bézout à ces deux polynômes
nous donne :
D'où
A et B sont donc les polynômes fournis par l'algorithme de
Bézout. On recommence à l'étape suivante avec le polynôme :
La réduction prend m étapes.
Faire tourner l'algorithme à la main sur l'exemple présenté au dessus.
Ecrire une fonction qui effectue le travail ci-dessus.
1.3 La méthode de Rothstein-Trager
Si Q est un polynôme sans carré, on peut écrire :
ai=P(ai)/Q'(ai) est racine de R=Resx(Q,P-t Q') Î
Q[t], ai est racine de gcd(Q,P-ai Q')Î
Q(ai)[x] et
|
|
ó
õ |
|
æ
ç
ç
è |
|
ö
÷
÷
ø |
= |
|
a log(gcd(Q,P-a Q')).
|
Appliquer cet algorithme avec P=x4-3 x2+6 et Q=x6-5 x4+5 x2+4.
Ecrire une fonction qui implante cet algorithme.
2 Résolution de récurrences linéaires
Lire la documentation en ligne de la fonction rsolve et du
package LREtools.
Résoudre les récurrences linéaires suivantes :
3 un+2-n un+1+(n-1) un=0,
n u(n+1)-(n+10) u(n)=0.
Comparer les solutions de ces deux récurrences linéaires.
Valérie Ménissier-Morain et Philippe Aubry
Monday 08 November 1999
This document was translated from LATEX by HEVEA.